Aire d'un triangle avec sinus : ½·a·b·sin(C)

La formule

Pour un triangle avec deux côtés $a$ et $b$ et l’angle entre eux $C$ :

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C)$

Pourquoi ça marche

Si $a$ et $b$ sont les côtés issus du sommet $C$, la hauteur relative à $b$ vaut $a \sin(C)$.

Donc aire = base × hauteur / 2 = $b \times a \sin(C) / 2$.

Exemple

Triangle avec $a = 8$, $b = 5$, angle inclus $60°$.

$\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 5 \times \sin(60°) = 20 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3$

Formule alternative avec les 3 côtés (Héron)

Si tu connais les 3 côtés $a, b, c$ (sans angle) :

Demi-périmètre $p = (a + b + c)/2$.

$\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Triangle équilatéral (côté $c$)

Formule directe : $\mathcal{A} = \dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}$.

Vérif : avec la formule sinus, $\dfrac{1}{2} c \cdot c \sin(60°) = \dfrac{c^2 \sqrt{3}}{4}$. ✓

Application inverse

Aire connue + 2 côtés ⇒ trouver l’angle :

$\sin(C) = \dfrac{2 \mathcal{A}}{a b}$

⚠️ $\sin$ donne 2 angles possibles dans $[0°, 180°]$ (sauf 90°).

Erreurs classiques

1. Utiliser l’angle qui n’est pas entre les deux côtés.
2. Oublier le $1/2$.
3. Sinus vs cosinus : $\sin$, pas $\cos$.
4. Angle en degrés vs radians — vérifier la calculatrice.

?À toi de jouer

Aire d'un triangle : a = 10, b = 6, angle inclus = 30° ?

A.15B.30C.60D.60√3

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