إشارة f' واتجاه تغيّر f: الرابط الأساسي

المبرهنة

لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على مجال $I$.

• $f'(x) > 0$ على $I$ ⇒ $f$ متزايدة قطعًا على $I$
• $f'(x) < 0$ على $I$ ⇒ $f$ متناقصة قطعًا على $I$
• $f'(x) = 0$ على $I$ ⇒ $f$ ثابتة على $I$

الطريقة: بناء جدول التغيّرات

1. احسب $f'(x)$.
2. حل $f'(x) = 0$ لإيجاد نقاط تغيّر السلوك.
3. ادرس إشارة $f'$ (غالبًا: ثلاثية حدود، خارج قسمة، جداء إشارات).
4. املأ الجدول: ثلاثة أسطر ($x$، $f'(x)$، $f(x)$).
5. احسب القيم عند النقاط المميّزة (قيم قصوى، حدود).

مثال: $f(x) = x^3 - 3x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1)$.

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ أو $x = 1$.

الإشارة: $f' > 0$ خارج $[-1, 1]$، $f' < 0$ بينهما.

الجدول:

• متزايدة على $(-\infty, -1]$
• متناقصة على $[-1, 1]$
• متزايدة على $[1, +\infty)$

القيم القصوى: $f(-1) = 3$ (قصوى محلّية)، $f(1) = -1$ (دنيا محلّية).

تعيين قيمة قصوى

إذا تغيّرت إشارة $f'$ في $x_0$:

• $f' : + \to -$ ⇒ قصوى محلّية في $x_0$.
• $f' : - \to +$ ⇒ دنيا محلّية في $x_0$.

إذا لم تتغيّر إشارة $f'$ في $x_0$ (مثلًا $f'(x_0) = 0$ لكنها تبقى موجبة حوله): لا قيمة قصوى.

انتبه للفرضيات

المبرهنة تشترط $f$ قابلة للاشتقاق على مجال. لا تنطبق على $\mathbb{R}^*$ (مجالان منفصلان).

مثال مضاد: $f(x) = 1/x$ حيث $f'(x) = -1/x^2 < 0$ على كل مجال، لكنّ $f$ ليست متناقصة على $\mathbb{R}^*$ (انقطاع عند $0$).

أخطاء شائعة

1. استنتاج $f$ متزايدة دون دراسة كل المجال.
2. نسيان ذكر «على أي مجال».
3. ادّعاء قيمة قصوى دون التحقّق من تغيّر إشارة $f'$.
4. الخلط بين نقطة حرجة ($f'(x_0) = 0$) وقيمة قصوى (الثانية تتطلّب تغيّر إشارة).

?À toi de jouer

f' تتغيّر من − إلى + في x_0. طبيعة x_0؟

A.دنيا محلّيةB.قصوى محلّيةC.نقطة انعطافD.لا شيء خاصّ

Valider