Équation de la tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a)

La formule miracle

La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ a pour équation :

$y = f'(a) \times (x - a) + f(a)$

• Pente : $f'(a)$.
• Passe par $(a, f(a))$.

Méthode en 3 étapes

1. Calculer $f'(x)$.
2. Évaluer $f(a)$ et $f'(a)$.
3. Remplacer dans la formule.

Exemple

Tangente à $f(x) = x^2$ en $a = 3$ :

$f(3) = 9$, $f'(x) = 2x$, $f'(3) = 6$.

$y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 18 + 9 = 6x - 9$

Cas particuliers

• Tangente horizontale ($f'(a) = 0$) : $y = f(a)$. Un extremum, souvent.
• Tangente verticale : $f$ n’est pas dérivable en $a$ (ex : $\sqrt{x}$ en $0$).

Position courbe/tangente

• Si $f'' > 0$ autour de $a$ : $f$ convexe ⇒ courbe au-dessus de la tangente.
• Si $f'' < 0$ : $f$ concave ⇒ courbe en dessous.
• Si $f''(a) = 0$ et changement de signe : point d’inflexion (courbe traverse la tangente).

Application : approximation

Pour $x$ proche de $a$ : $f(x) \approx f'(a)(x - a) + f(a)$.

C’est la base des développements limités.

Erreurs classiques

1. Oublier de calculer $f'(a)$ (utiliser $f(a)$ à la place).
2. Écrire $y = f'(a) x + f(a)$ (oublier le $(x - a)$).
3. Se tromper de signe dans $(x - a)$ vs $(a - x)$.
4. Utiliser $f'(x)$ non évaluée (garder $x$ au lieu de mettre $a$).

?À toi de jouer

Tangente à f(x) = x³ en a = 2 ?

A.y = 12x − 16B.y = 3x² − 4C.y = 12(x − 2)D.y = 8 + 12x

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