Équation avec valeur absolue : |ax+b| = k a 0, 1 ou 2 solutions

La règle

Pour $|A| = k$ :

• Si $k < 0$ : pas de solution ($|A| \geq 0$ toujours).
• Si $k = 0$ : $A = 0$ (1 équation à résoudre).
• Si $k > 0$ : $A = k$ ou $A = -k$ (2 équations à résoudre).

Exemple type

Résoudre $|2x - 3| = 5$.

$k = 5 > 0$, deux cas :

• $2x - 3 = 5$ ⇒ $x = 4$
• $2x - 3 = -5$ ⇒ $x = -1$

Solutions : $S = \{-1 \, ; \, 4\}$.

Interprétation géométrique

$|x - a| = k$ signifie « distance entre $x$ et $a$ est $k$ ».

$|x - a| = k$ ⇒ $x = a - k$ ou $x = a + k$.

Inéquation $|A| \leq k$ (avec $k > 0$)

$|A| \leq k \iff -k \leq A \leq k$

Ex : $|x - 3| \leq 2$ ⇒ $-2 \leq x - 3 \leq 2$ ⇒ $1 \leq x \leq 5$.

Inéquation $|A| \geq k$ (avec $k > 0$)

$|A| \geq k \iff A \leq -k \text{ OU } A \geq k$

Ex : $|x + 1| \geq 3$ ⇒ $x + 1 \leq -3$ ou $x + 1 \geq 3$ ⇒ $x \leq -4$ ou $x \geq 2$.

Équation $|A| = |B|$

$|A| = |B| \iff A = B \text{ OU } A = -B$

Ex : $|x + 1| = |2x - 5|$ ⇒ $x + 1 = 2x - 5$ ou $x + 1 = -(2x - 5)$ ⇒ $x = 6$ ou $x = 4/3$.

Erreurs classiques

1. Oublier le cas $A = -k$ (n’en résoudre qu’un seul).
2. Écrire $|A| = k$ avec $k < 0$ comme ayant des solutions.
3. Confondre $|A|$ et $A$ (la valeur absolue est toujours positive).
4. Écrire $|a + b| = |a| + |b|$ (faux en général, c’est $\leq$).

?À toi de jouer

Résoudre |3x + 6| = 9

A.x = 1 ou x = −5B.x = 1 seulementC.x = 3 ou x = −3D.Pas de solution

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