Barycentre : moyenne pondérée des positions

Barycentre de 2 points pondérés

Le barycentre $G$ de $(A, \alpha)$ et $(B, \beta)$ (avec $\alpha + \beta \neq 0$) est le point tel que :

$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0}$

Formule des coordonnées

Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$G = \left( \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta} \, ; \, \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta} \right)$

C’est la moyenne pondérée des coordonnées.

Cas particulier : le milieu

Si $\alpha = \beta$ (poids égaux), $G$ est le milieu de $[AB]$ :

$G = \left( \dfrac{x_A + x_B}{2} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

Barycentre de 3 points : isobarycentre

Isobarycentre $G$ de $A, B, C$ (poids égaux) = centre de gravité du triangle :

$G = \left( \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)$

Il est à l’intersection des médianes et se situe au tiers depuis la base.

Généralisation à $n$ points

Barycentre de $(A_1, \alpha_1), \ldots, (A_n, \alpha_n)$ (avec $\sum \alpha_i \neq 0$) :

$G = \dfrac{\sum \alpha_i \overrightarrow{OA_i}}{\sum \alpha_i}$

(en coordonnées : moyenne pondérée composante par composante).

Propriété : associativité

On peut regrouper les points par sous-groupes puis prendre le barycentre des barycentres partiels.

Exemple : barycentre de $A, B, C$ (poids 1, 1, 2) = barycentre de [milieu de $[AB]$ avec poids 2] et [$C$ avec poids 2].

Application 1 : centre de masse

En physique, le barycentre est le centre de masse d’un système. Poids = masse de chaque point.

Application 2 : partage d’un segment

Point $G$ qui divise $[AB]$ selon le rapport $\alpha : \beta$ : $G$ est le barycentre de $(A, \beta)$ et $(B, \alpha)$ (poids inversés).

Erreurs classiques

1. Diviser par $\alpha \times \beta$ au lieu de $\alpha + \beta$.
2. Écrire poids nuls (pas défini si $\sum \alpha_i = 0$).
3. Inverser les poids dans la formule.
4. Confondre isobarycentre et barycentre (isobarycentre = poids tous égaux).

?À toi de jouer

A(2, 0), B(8, 6). Barycentre G de (A, 2) et (B, 1) ?

A.(4, 2)B.(5, 3)C.(6, 4)D.(10, 6)

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