Angle inscrit = moitié de l'angle au centre

Vocabulaire

• Angle au centre : angle dont le sommet est au centre du cercle.
• Angle inscrit : angle dont le sommet est sur le cercle et les côtés sont des cordes.
• Les deux interceptent le même arc si leurs côtés passent par les mêmes points du cercle.

Le théorème

Si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc :

$\widehat{\text{angle au centre}} = 2 \times \widehat{\text{angle inscrit}}$

Ou de façon équivalente :

$\widehat{\text{angle inscrit}} = \dfrac{1}{2} \times \widehat{\text{angle au centre}}$

Exemple

Si l’angle au centre vaut $80°$, l’angle inscrit qui intercepte le même arc vaut $40°$.

Si l’angle inscrit vaut $30°$, l’angle au centre correspondant vaut $60°$.

Corollaire 1 : angles inscrits sur le même arc

Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.

Corollaire 2 : angle inscrit dans un demi-cercle

Si un côté de l’angle inscrit est un diamètre, l’angle au centre vaut $180°$, donc l’angle inscrit vaut $90°$.

Autrement dit : si un triangle a un côté sur le diamètre du cercle circonscrit, il est rectangle (en le sommet opposé).

Méthode : retrouver un angle manquant

1. Identifier l’arc intercepté.
2. Chercher un angle au centre ou un autre angle inscrit qui intercepte le même arc.
3. Appliquer $\times 2$ ou $\div 2$.

Erreurs classiques

1. Confondre angle au centre et inscrit (regarder où est le sommet).
2. Angles n’interceptant pas le même arc (indispensable !).
3. Appliquer $\times 2$ dans le mauvais sens : c’est le CENTRE qui est le double.

?À toi de jouer

Un angle au centre mesure 120°. L'angle inscrit qui intercepte le même arc ?

A.60°B.120°C.240°D.90°

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