Longueur d'un arc de cercle : L = r × θ (radians)

Formule en radians

$L = r \times \theta$

• $r$ : rayon du cercle
• $\theta$ : angle en radians
• $L$ : longueur de l’arc

Formule en degrés

$L = \dfrac{\alpha}{360} \times 2 \pi r$

• $\alpha$ : angle en degrés
• Fraction du périmètre total ($2\pi r$).

Rappel : degrés ↔ radians

$\pi \text{ rad} = 180°$

• $\theta_{rad} = \alpha_{deg} \times \pi / 180$
• $\alpha_{deg} = \theta_{rad} \times 180 / \pi$

Angles usuels :

Degrés	Radians
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
360°	2π

Exemples

Arc de rayon 5 cm, angle 60° :

• En radians : $60° = \pi/3$, $L = 5 \times \pi/3 \approx 5{,}24$ cm.
• En degrés : $L = (60/360) \times 2\pi \times 5 = (1/6) \times 10\pi \approx 5{,}24$ cm. ✓

Périmètre complet ($\alpha = 360°$, $\theta = 2\pi$) : $L = r \times 2\pi = 2\pi r$. ✓

Aire d’un secteur circulaire

$\mathcal{A} = \dfrac{r^2 \theta}{2}$

(en radians). Ou $\mathcal{A} = \dfrac{\alpha}{360} \times \pi r^2$ (en degrés).

Erreurs classiques

1. Utiliser la formule $L = r \theta$ avec $\theta$ en degrés (faux : convertir en radians).
2. Oublier le rayon dans la formule.
3. Confondre longueur d’arc et aire de secteur.

?À toi de jouer

Arc de rayon 10 cm, angle 90° : longueur ?

A.5π cmB.10π cmC.20π cmD.π cm

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