Développer et réduire : la routine k(a+b) = ka+kb

Développer : la distributivité

$k(a + b) = k a + k b$

$k(a - b) = k a - k b$

Le facteur devant est distribué à chaque terme entre parenthèses.

Réduire : rassembler les semblables

Les termes semblables sont ceux qui ont la même partie littérale.

• $3x$ et $-5x$ sont semblables (partie littérale $x$).
• $4x^2$ et $x^2$ sont semblables.
• $3x$ et $3x^2$ ne sont pas semblables.

Réduire = additionner les coefficients des termes semblables.

Exemple type

Développer et réduire : $3(2x - 4) + 5(x + 1)$.

Distribuer : $3 \times 2x - 3 \times 4 + 5 \times x + 5 \times 1 = 6x - 12 + 5x + 5$

Réduire :

• Termes en $x$ : $6x + 5x = 11x$
• Termes constants : $-12 + 5 = -7$

Résultat : $11x - 7$.

Attention aux signes

Si un signe moins précède la parenthèse, il change tous les signes à l’intérieur.

$-(3x - 2) = -3x + 2$

Ex : $5x - (2x - 7) = 5x - 2x + 7 = 3x + 7$.

Double distributivité

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

Chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

Exemple : $(x + 3)(2x - 1) = 2x^2 - x + 6x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Erreurs classiques

1. Oublier de distribuer à tous les termes.
2. Oublier de changer les signes avec le − devant parenthèses.
3. Additionner des termes non semblables ($3x + 3x^2 \neq 6x^2$).
4. Écrire $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ au lieu de $a^2 + 2ab + b^2$.

?À toi de jouer

Développer et réduire : 2(3x + 4) − (x − 5) ?

A.5x + 13B.5x + 3C.7x + 3D.5x − 13

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