Règles de calcul avec les puissances : la fiche à imprimer

Les 5 règles

Soient $a, b \neq 0$ et $m, n$ entiers.

Règle	Formule	Exemple
Produit de puissances (même base)	$a^m \times a^n = a^{m+n}$	$2^3 \times 2^5 = 2^8$
Quotient de puissances (même base)	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{3^7}{3^4} = 3^3$
Puissance de puissance	$(a^m)^n = a^{m \times n}$	$(5^2)^3 = 5^6$
Produit de bases différentes	$(a \times b)^n = a^n \times b^n$	$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$
Quotient de bases différentes	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$\left(\dfrac{5}{2}\right)^3 = \dfrac{125}{8}$

Cas particuliers

• $a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$)
• $a^1 = a$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (l’exposant négatif donne l’inverse)

Attention aux pièges

Attention 1 — Les règles marchent sur la même base. Il n’y a pas de formule simple pour $2^3 \times 3^3$ ou $2^3 + 2^5$.

Attention 2 — L’ordre entre $-3^2$ et $(-3)^2$ :

• $(-3)^2 = 9$ (le carré du négatif est positif)
• $-3^2 = -9$ (on calcule $3^2 = 9$ puis on met le −)

Exemples

Simplifier $\dfrac{5^7 \times 5^{-2}}{5^3}$ :

• Numérateur : $5^{7 + (-2)} = 5^5$
• Divisé par $5^3$ : $5^{5 - 3} = 5^2 = 25$.

Simplifier $\dfrac{(2^3)^4}{2^{10}}$ :

• Numérateur : $2^{12}$
• Divisé par $2^{10}$ : $2^2 = 4$.

?À toi de jouer

Combien vaut (2³ × 2²)² ?

A.2¹⁰B.2⁷C.2⁶D.4¹⁰

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