Racines n-ièmes de l'unité : les sommets d'un polygone régulier

La formule

Les racines n-ièmes de l’unité sont les $n$ solutions complexes de $z^n = 1$ :

$z_k = e^{2 i k \pi / n} = \cos\left(\dfrac{2 k \pi}{n}\right) + i \sin\left(\dfrac{2 k \pi}{n}\right)$

pour $k = 0, 1, 2, \ldots, n-1$.

Représentation géométrique

Toutes ces racines ont module 1, donc elles se trouvent sur le cercle unité.

Elles sont régulièrement espacées d’un angle $\dfrac{2\pi}{n}$, formant les sommets d’un polygone régulier à $n$ côtés inscrit dans le cercle.

Cas $n = 2, 3, 4$

$n = 2$ : $z^2 = 1$ ⇒ $z = 1$ ou $z = -1$. Deux points diamétralement opposés.

$n = 3$ : $z^3 = 1$ ⇒ $z = 1$, $j = e^{2i\pi/3}$, $j^2 = e^{-2i\pi/3}$. Triangle équilatéral.

$n = 4$ : $z^4 = 1$ ⇒ $z = 1, i, -1, -i$. Carré inscrit.

Propriétés magiques

Somme nulle (si $n \geq 2$) : $\sum_{k=0}^{n-1} z_k = 0$

Cela vient de la formule de la somme géométrique.

Produit = $(-1)^{n-1}$.

Racines n-ièmes d’un complexe quelconque

Pour résoudre $z^n = w$ où $w = r e^{i\alpha}$ :

$z_k = r^{1/n} \, e^{i(\alpha + 2 k \pi)/n}$

pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$.

Le nombre $j$ à mémoriser

$j = e^{2 i \pi / 3} = -\dfrac{1}{2} + i \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Propriétés : $j^3 = 1$, $1 + j + j^2 = 0$, $\overline{j} = j^2 = 1/j$.

Erreurs classiques

1. Croire qu’il n’y a qu’une racine ($z^n = 1$ a exactement $n$ solutions dans $\mathbb{C}$).
2. Oublier le $2\pi$ dans la formule (pas $\pi$).
3. Confondre $j$ (complexe) et le vecteur $\vec{j}$ (attention aux conventions).

?À toi de jouer

Nombre de racines cubiques de 1 dans ℂ ?

A.3B.1C.2D.6

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