Valeur absolue |x| : c'est juste « la distance à zéro »

La définition

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

En pratique : $|x|$ enlève le signe. $|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.

L’interprétation qui débloque tout

$|x|$ = distance de $x$ à $0$ sur la droite des nombres.

Généralisation : $|x - a|$ = distance de $x$ à $a$.

Résoudre $|x - 3| = 5$

« La distance entre $x$ et $3$ vaut 5 ». Deux points sur la droite : $x = 3 + 5 = 8$ ou $x = 3 - 5 = -2$.

Résoudre $|x| \leq 4$

« La distance de $x$ à $0$ est au plus 4 » → $x \in [-4; 4]$.

$|x| \geq 4$ → $x \in ]-\infty; -4] \cup [4; +\infty[$.

Les 3 propriétés à retenir

• $|x| \geq 0$ toujours.
• $|xy| = |x| \cdot |y|$.
• Inégalité triangulaire : $|x + y| \leq |x| + |y|$.

L’erreur classique

$|x^2 - 9| \ne x^2 - 9$ pour tout $x$. Seulement quand $x^2 - 9 \geq 0$ (c’est-à-dire $|x| \geq 3$).

?À toi de jouer

Combien de solutions a |x + 2| = 7 ?

A.Une seuleB.Deux : x = 5 et x = −9C.Deux : x = 5 et x = 9D.Aucune

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