Domaine de définition : la checklist des valeurs interdites

Le principe

Le domaine de définition $D_f$ est l’ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

La checklist des interdits

Pour chaque expression, écarte :

Expression	Interdit
$\dfrac{A}{B}$	$B = 0$
$\sqrt{A}$	$A < 0$
$\ln(A)$	$A \leq 0$
$\tan(x)$	$x = \pi/2 + k\pi$
$A^\alpha$ non entier	$A \leq 0$

Méthode

1. Repérer chaque expression sensible dans $f(x)$.
2. Poser les conditions correspondantes.
3. Résoudre le système de conditions.
4. Écrire $D_f$ comme intersection (ou union d’intervalles).

Exemples

$f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ ⇒ $x \neq 3$. $D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

$f(x) = \sqrt{x - 5}$ ⇒ $x - 5 \geq 0$ ⇒ $x \geq 5$. $D_f = [5, +\infty[$.

$f(x) = \ln(x + 2)$ ⇒ $x + 2 > 0$ ⇒ $x > -2$. $D_f = ]-2, +\infty[$.

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 4}$ ⇒ $x \geq 0$ ET $x \neq 4$. $D_f = [0, 4[ \cup ]4, +\infty[$.

Composition : attention

$f(x) = \ln(x^2 - 4)$ ⇒ $x^2 - 4 > 0$ ⇒ $x < -2$ ou $x > 2$. $D_f = ]-\infty, -2[ \cup ]2, +\infty[$.

Résoudre l’inéquation sur l’argument, pas juste le rendre positif !

À noter

• Un polynôme est défini sur $\mathbb{R}$ (aucune restriction).
• $\sqrt{A}$ pose $A \geq 0$ (inégalité large, car $\sqrt{0} = 0$ existe).
• $\ln(A)$ pose $A > 0$ (inégalité stricte, car $\ln(0)$ n’existe pas).

Erreurs classiques

1. Confondre $\geq$ (racine) et $>$ (logarithme).
2. Oublier de résoudre l’inéquation (poser la condition ne suffit pas).
3. Croire que $\dfrac{1}{x}$ est défini en 0 (interdit).
4. Écrire $D_f = \mathbb{R}$ sans vérifier.

?À toi de jouer

Domaine de f(x) = √(2x − 6) ?

A.[3, +∞)B.(3, +∞)C.ℝD.(−∞, 3]

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