Forme exponentielle d'un complexe : $z = re^{i\theta}$

La formule

Si $z$ a pour module $r$ et argument $\theta$, alors :

$z = r \cdot e^{i\theta}$

où $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ (formule d’Euler).

Passage forme trigo → exponentielle

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r \cdot e^{i\theta}$.

Passage forme algébrique → exponentielle

$z = a + ib$ :

• Calcule $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Calcule $\theta$ (argument)
• Écris $z = r \cdot e^{i\theta}$

Exemples

• $1 + i$ : $r = \sqrt{2}$, $\theta = \pi/4$. Donc $1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$.
• $-1$ : $r = 1$, $\theta = \pi$. Donc $-1 = e^{i\pi}$. Identité d’Euler : $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• $i$ : $r = 1$, $\theta = \pi/2$. Donc $i = e^{i\pi/2}$.

Propriétés (formules d’Euler)

$e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$

$\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = e^{i(\alpha - \beta)}$

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ (Moivre)

$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$

Pourquoi c’est génial ?

Multiplier deux complexes devient une simple addition d’arguments :

$z_1 z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

Application : puissances

Calcule $(1 + i)^8$.

• $1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$
• $(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 \cdot e^{i \cdot 8\pi/4} = 16 \cdot e^{i \cdot 2\pi} = 16$.

Impressionnant en une ligne !

Formule d’Euler inversée

$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$

$\sin \theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Très utile en prépa pour linéariser des expressions trigo.

Erreurs classiques

1. Oublier le module $r$ : $z = e^{i\theta}$ signifie $r = 1$ (complexe sur le cercle unité).
2. Argument mal calculé : attention au quadrant si $a < 0$.
3. Confondre les formules d’Euler et les développements de sin/cos.

?À toi de jouer

Sous forme exponentielle, i vaut :

A.e^{iπ/2}B.e^{iπ}C.e^{i}D.e^{iπ/4}

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