Somme d'une suite géométrique : la formule qui tue

La formule

Pour $q \neq 1$ :

$1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \sum_{k=0}^{n} q^k = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Si $q = 1$ : la somme vaut simplement $n + 1$ (tous les termes valent 1).

Cas fréquent : commence à $q^0 = 1$

$1 + q + q^2 + \ldots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Il y a $n + 1$ termes (attention, pas $n$).

Autre formulation utile

Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \cdot q^n$ :

$\sum_{k=0}^{n} u_k = u_0 \cdot \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$

Cas $|q| < 1$, somme infinie

Si $|q| < 1$, quand $n \to +\infty$, $q^{n+1} \to 0$, donc :

$\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \dfrac{1}{1 - q}$

Exemple : $1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \ldots = \dfrac{1}{1 - 1/2} = 2$.

Exemple

Calcule $S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32$ (puissances de 2).

$q = 2$, on va de $2^0$ à $2^5$, donc $n = 5$.

$S = \dfrac{1 - 2^{6}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 64}{-1} = 63$

Vérification : $1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63$. ✓

Astuce : nombre de termes

Somme de $q^p$ à $q^n$ :

• Nombre de termes : $n - p + 1$
• Formule : $q^p \cdot \dfrac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$

Erreurs classiques

1. $n$ vs $n+1$ au numérateur : la formule utilise $q^{n+1}$, pas $q^n$.
2. Oublier de compter le terme $q^0 = 1$ : la somme de $q^0$ à $q^n$ contient $n+1$ termes.
3. Utiliser la formule pour $q = 1$ : on divise par 0 !

?À toi de jouer

Combien vaut 1 + 3 + 9 + 27 + 81 ?

A.121B.81C.243D.120

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