أمل قانون ذي الحدَّين: E(X) = np، V(X) = np(1−p)

الصيغ الثلاث الواجب حفظها

لـ $X \sim \mathcal{B}(n, p)$:

$E(X) = n p$

$V(X) = n p (1 - p)$

$\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

الحدس

• على $n$ محاولات باحتمال $p$ نجاح، نتوقّع $np$ نجاحًا في المتوسّط.
• التشتّت أعظمي عندما $p = 0{,}5$ (نتائج أكثر إفاجاء).

مثال: 100 قذف قطعة نقدية ($p = 0{,}5$).

• $E(X) = 100 \times 0{,}5 = 50$ صورة متوقّعة.
• $\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}25} = 5$ (تغيّر 5 صور حول 50).

تحقّق على حالات بسيطة

• قذف واحد: $E = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5$. منطقي (متوسّط بين 0 و 1).
• إخراج «6» على 6 قذفات نرد: $p = 1/6$، $E = 6 \times 1/6 = 1$. نتوقّع 1 ستّة.

استعمال عملي

مراقب جودة: على 1000 قطعة بـ 2 % عيوب ($p = 0{,}02$)، نتوقّع $E = 1000 \times 0{,}02 = 20$ عيبًا. الانحراف المعياري $\sigma = \sqrt{1000 \times 0{,}02 \times 0{,}98} \approx 4{,}4$.

لماذا هذه الصيغ؟

لأنّ $\mathcal{B}(n, p)$ هي مجموع $n$ متغيّرات برنولي مستقلّة بمعامل $p$:

• برنولي: $E = p$، $V = p(1-p)$.
• مجموع $n$: $E = np$، $V = np(1-p)$ (التباين جمعي للمستقلّة).

أخطاء شائعة

1. كتابة $E(X) = p$ (نسيان $n$).
2. كتابة $V(X) = np$ (نسيان $(1-p)$).
3. الخلط بين الانحراف المعياري والتباين (انتبه للـ $\sqrt{}$).
4. الاستعمال على سحب بلا إحلال (هناك قانون هندسي فائق).

?À toi de jouer

X ~ B(50, 0,3). E(X) = ?

A.15B.10,5C.50D.0,3

Valider