Espérance d'une loi binomiale : E(X) = np, V(X) = np(1−p)

Les 3 formules à retenir

Pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ :

$E(X) = n p$

$V(X) = n p (1 - p)$

$\sigma(X) = \sqrt{n p (1 - p)}$

L’intuition

• Sur $n$ essais avec proba $p$ de succès, on attend $np$ succès en moyenne.
• La dispersion est maximale quand $p = 0{,}5$ (résultats les plus « surprises »).

Exemple : 100 lancers d’une pièce ($p = 0{,}5$).

• $E(X) = 100 \times 0{,}5 = 50$ piles attendues.
• $\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}25} = 5$ (variabilité de 5 piles autour de 50).

Vérification sur des cas simples

• 1 lancer de pièce : $E = 1 \times 0{,}5 = 0{,}5$. Bien logique (moyenne entre 0 et 1).
• Dé à 6 faces, sortir “6” sur 6 lancers : $p = 1/6$, $E = 6 \times 1/6 = 1$. On attend 1 six.

Utilisation pratique

Testeur qualité : sur 1000 objets avec 2 % de défauts ($p = 0{,}02$), on attend $E = 1000 \times 0{,}02 = 20$ défauts. Écart-type $\sigma = \sqrt{1000 \times 0{,}02 \times 0{,}98} \approx 4{,}4$.

Pourquoi ces formules ?

Parce qu’une $\mathcal{B}(n, p)$ est somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ :

• Bernoulli : $E = p$, $V = p(1-p)$.
• Somme de $n$ : $E = np$, $V = np(1-p)$ (variance additive pour indépendantes).

Erreurs classiques

1. Écrire $E(X) = p$ (oublier le $n$).
2. Écrire $V(X) = np$ (oublier le $(1-p)$).
3. Confondre écart-type et variance (attention $\sqrt{}$).
4. Utiliser sur des tirages sans remise (là c’est la loi hypergéométrique).

?À toi de jouer

X ~ B(50, 0,3). E(X) = ?

A.15B.10,5C.50D.0,3

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