الأعداد العقدية: المعيار والعمدة ببساطة

عدد عقدي = نقطة في المستوى

$z = a + ib$ يقابل النقطة $M(a, b)$ أو المتجه $\vec{OM}$.

• المعيار $|z|$ = طول $\vec{OM}$
• العمدة $\arg(z)$ = الزاوية بين محور الحقائق و $\vec{OM}$ (بالراديان)

الصيغ

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \tan(\arg z) = \dfrac{b}{a} \; (\text{إذا كان } a > 0)$

الصيغة المثلثية

$z = |z| \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{حيث } \theta = \arg z$

مثال: $z = 1 + i$

• $|z| = \sqrt{2}$
• $\arg z$: $\tan \theta = 1$ و $a = 1 > 0$، إذن $\theta = \pi/4$.
• الصيغة المثلثية: $z = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.

خصائص مفيدة

الصيغة	الاستعمال
$\|z_1 z_2\| = \|z_1\| \|z_2\|$	معيار جداء
$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$	عمدة جداء
$\|z^n\| = \|z\|^n$	قوة
$\arg(z^n) = n \arg z$	قوة
$\|\bar{z}\| = \|z\|$	المرافق له نفس المعيار
$\arg(\bar{z}) = -\arg z$	عمدة معاكسة

انتبه للربع عندما $a < 0$

إذا كان $a < 0$، أضف $\pi$ إلى نتيجة $\arctan(b/a)$ للوصول للربع الصحيح.

مثال: $z = -1 + i$. هنا $a = -1, b = 1$.

• $\arctan(1/(-1)) = -\pi/4$. لكن $(-1, 1)$ في الربع الثاني.
• العمدة الصحيحة: $-\pi/4 + \pi = 3\pi/4$.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين المعيار والعمدة.
2. استعمال $\arctan$ دون التفكير في الربع.
3. نسيان أنّ المعيار ≥ 0 دائمًا.

?À toi de jouer

ما معيار z = 3 + 4i؟

A.5B.7C.√7D.25

Valider