Nombres complexes : module et argument sans se prendre la tête

Un complexe = un point du plan

Un nombre complexe $z = a + ib$ correspond au point $M(a, b)$ ou au vecteur $\vec{OM}$.

• Module $|z|$ = longueur de $\vec{OM}$
• Argument $\arg(z)$ = angle entre l’axe des réels et $\vec{OM}$ (en radians)

Les formules

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \text{et} \quad \tan(\arg z) = \dfrac{b}{a} \; (\text{si } a > 0)$

Forme trigonométrique

$z = |z| \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) \quad \text{où } \theta = \arg z$

Exemple : $z = 1 + i$

• $|z| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$
• $\arg z$ : $\tan \theta = 1/1 = 1$, $\theta \in \; ]-\pi/2, \pi/2[$ car $a = 1 > 0$. Donc $\theta = \pi/4$.
• Forme trigonométrique : $z = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Propriétés utiles

Formule	Application
$\|z_1 \cdot z_2\| = \|z_1\| \cdot \|z_2\|$	Le module d’un produit = produit des modules
$\arg(z_1 \cdot z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$	L’argument d’un produit = somme des arguments
$\|z^n\| = \|z\|^n$	Puissance
$\arg(z^n) = n \cdot \arg z$	Puissance
$\|\bar{z}\| = \|z\|$	Le conjugué a même module
$\arg(\bar{z}) = -\arg z$	Argument opposé

Attention à l’argument quand $a < 0$

Si $a < 0$, il faut ajouter $\pi$ au résultat de $\arctan(b/a)$ pour tomber dans le bon quadrant.

Exemple : $z = -1 + i$. Ici $a = -1$, $b = 1$.

• $\tan \theta = 1/(-1) = -1$
• Sans correction : $\arctan(-1) = -\pi/4$. Mais le point $(-1, 1)$ est dans le 2e quadrant.
• Vrai argument : $-\pi/4 + \pi = 3\pi/4$.

Erreurs classiques

1. Confondre module et argument.
2. Utiliser $\arctan$ sans réfléchir au quadrant.
3. Oublier que le module d’un complexe est toujours ≥ 0.

?À toi de jouer

Quel est le module de z = 3 + 4i ?

A.5B.7C.√7D.25

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