الشكل الأسّي لعدد عقدي: $z = re^{i\theta}$

الصيغة

إذا كان لـ $z$ معيار $r$ وعمدة $\theta$:

$z = r \cdot e^{i\theta}$

مع $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ (صيغة أويلر).

من المثلثية إلى الأسّية

$z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r \cdot e^{i\theta}$.

من الجبرية إلى الأسّية

$z = a + ib$:

• احسب $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
• احسب $\theta$ (العمدة)
• اكتب $z = r \cdot e^{i\theta}$

أمثلة

• $1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$
• $-1 = e^{i\pi}$. متطابقة أويلر: $e^{i\pi} + 1 = 0$.
• $i = e^{i\pi/2}$.

الخصائص (أويلر)

$e^{i\alpha} \cdot e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$

$\dfrac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}} = e^{i(\alpha - \beta)}$

$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \quad (\text{دوموافر})$

$\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$

لماذا هذا رائع؟

ضرب عددين عقديَّين = جمع عمدتَيهما:

$z_1 z_2 = r_1 r_2 \cdot e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

تطبيق: القوى

احسب $(1 + i)^8$.

$1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i\pi/4}$ $(1 + i)^8 = 16$.

في سطر واحد!

أويلر عكسيًّا

$\cos \theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin \theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

مفيدة جدًّا لتخطيط عبارات مثلثية.

أخطاء شائعة

1. نسيان $r$: $z = e^{i\theta}$ يعني $r = 1$.
2. العمدة الخاطئة: انتبه للربع.
3. الخلط بين أويلر وتايلور.

?À toi de jouer

بالشكل الأسي، i يساوي:

A.e^{iπ/2}B.e^{iπ}C.e^{i}D.e^{iπ/4}

Valider