Continuité et TVI : l'outil pour prouver qu'une équation a une solution

Le théorème

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) — Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

Le corollaire du bac (version « s’annule »)

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = 0$.

Si en plus $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.

Méthode

Pour prouver que $f(x) = 0$ a une solution sur $[a, b]$ :

1. Vérifie que $f$ est continue (les fonctions polynômes, sin, cos, exp, ln sont continues sur leur domaine).
2. Calcule $f(a)$ et $f(b)$.
3. Vérifie qu’ils sont de signes contraires (produit < 0).
4. Conclus par le TVI qu’une solution existe.
5. Optionnel : unicité en montrant la stricte monotonie (signe de $f'$).

Exemple type

Montrer que $x^3 + x - 1 = 0$ a une unique solution dans $[0, 1]$.

• $f(x) = x^3 + x - 1$, polynôme donc continue sur $[0, 1]$.
• $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : signes contraires.
• Par le TVI, il existe $c \in [0, 1]$ tel que $f(c) = 0$.
• $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ : $f$ est strictement croissante.
• Donc la solution est unique.

Erreurs classiques

1. Oublier la continuité : sans continuité, le TVI ne s’applique pas.
2. Confondre existence et unicité : le TVI donne UN c (au moins un), pas un seul.
3. Utiliser signes égaux : pour le corollaire il faut des signes strictement contraires.
4. Le seul intervalle où f change de signe : parfois il faut découper $[a, b]$ en plusieurs sous-intervalles.