Convexité et dérivée seconde : f'' > 0 ⇒ f convexe

Le lien clé

Soit $f$ deux fois dérivable sur $I$.

• $f''(x) \geq 0$ sur $I$ ⇒ $f$ convexe sur $I$ (courbe au-dessus de ses tangentes).
• $f''(x) \leq 0$ sur $I$ ⇒ $f$ concave sur $I$ (courbe en dessous de ses tangentes).

Mnémonique : convexe = « creux vers le haut » (comme $x^2$), concave = « creux vers le bas » (comme $-x^2$).

Point d’inflexion

Un point d’inflexion est un point où la courbe change de convexité.

Il se trouve là où $f''$ change de signe (souvent en $x_0$ tel que $f''(x_0) = 0$).

⚠️ $f''(x_0) = 0$ ne suffit pas : il faut un CHANGEMENT de signe.

Exemples classiques

Fonction	Convexité
$x^2$	convexe partout ($f'' = 2 > 0$)
$-x^2$	concave partout
$e^x$	convexe partout ($f'' = e^x > 0$)
$\ln x$	concave sur $]0, +\infty[$
$x^3$	concave sur $]-\infty, 0]$, convexe sur $[0, +\infty[$, inflexion en $0$

Autre caractérisation : $f'$ monotone

• $f$ convexe $\iff$ $f'$ croissante.
• $f$ concave $\iff$ $f'$ décroissante.

Application : inégalité de convexité

Si $f$ est convexe sur $I$, pour tous $a, b \in I$ et $t \in [0, 1]$ :

$f\big(t a + (1-t) b\big) \leq t f(a) + (1-t) f(b)$

Autrement dit : la corde est au-dessus de la courbe.

Méthode pour trouver un point d’inflexion

1. Calculer $f''(x)$.
2. Résoudre $f''(x) = 0$.
3. Vérifier que $f''$ change de signe en ce point.

Erreurs classiques

1. Confondre convexe et croissant (aucun rapport direct).
2. Écrire « $f$ change de convexité en $x_0$ » sans vérifier le changement de signe de $f''$.
3. Oublier que $f$ doit être 2 fois dérivable pour parler de $f''$.

?À toi de jouer

f(x) = e^x. Nature de f ?

A.Convexe sur ℝB.Concave sur ℝC.Convexe sur [0, ∞) seulementD.Point d'inflexion en 0

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