القانون الطبيعي N(μ, σ²): منحنى الجرس واحتمالات البكالوريا

منحنى الجرس

المتغيّر $X$ يتبع القانون الطبيعي $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ إذا كانت كثافته على شكل جرس، متمركزة عند $\mu$ (التوقّع)، و«عرضها» مرتبط بـ $\sigma$ (الانحراف المعياري).

قاعدة 68-95-99٫7 (للحفظ!)

لكل $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$:

المجال	الاحتمال
$[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$	≈ 68٪
$[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$	≈ 95٪
$[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$	≈ 99٫7٪

مثال ملموس

طول البالغين يتبع $\mathcal{N}(170, 8^2)$ (متوسّط 170 سم، انحراف 8 سم).

• حوالي 68٪ من الناس بين 162 و 178 سم.
• حوالي 95٪ بين 154 و 186 سم.
• حوالي 99٫7٪ بين 146 و 194 سم.

الحاسبة

لحساب $P(a \leq X \leq b)$ مع $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$:

• Casio: Menu STAT → DIST → NORM → Ncd: بين $a$ و $b$، $\mu$، $\sigma$.
• TI-83/84: 2nd → DISTR → normalcdf(a, b, μ, σ).

لـ $P(X \leq c)$: استعمل $-10^{99}$ كحدّ أدنى.

القانون الطبيعي المركّز المخفّض

الحالة الخاصّة: $\mu = 0$، $\sigma = 1$، يُرمز $\mathcal{N}(0, 1)$.

كل $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ يُختصر بـ:

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

يسمح باستعمال جدول القانون المركّز إذا لم توجد حاسبة.

أخطاء شائعة

1. الخلط بين $\sigma$ و $\sigma^2$: الترميز $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ يستعمل التباين، لكن قاعدة 68-95-99٫7 تستعمل $\sigma$.
2. نسيان أنّه متّصل: $P(X = k) = 0$. نستعمل دائمًا مجالات.
3. الاعتقاد أنّ 95٪ = 2σ بالضبط: هي 1٫96σ بدقّة. «2» تقريب.

?À toi de jouer

X ~ N(50, 4²). ما احتمال P(46 ≤ X ≤ 54)؟

A.≈ 68٪B.≈ 95٪C.≈ 50٪D.≈ 34٪

Valider