Loi normale N(μ, σ²) : la courbe en cloche et les probas au bac

La courbe en cloche

Une variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ si sa densité est en forme de cloche, centrée en $\mu$ (espérance), et de « largeur » liée à $\sigma$ (écart-type).

La règle 68-95-99,7 (à retenir !)

Pour toute variable qui suit $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :

Intervalle	Probabilité
$[\mu - \sigma \; ; \; \mu + \sigma]$	≈ 68 %
$[\mu - 2\sigma \; ; \; \mu + 2\sigma]$	≈ 95 %
$[\mu - 3\sigma \; ; \; \mu + 3\sigma]$	≈ 99,7 %

Exemple concret

La taille des adultes suit $\mathcal{N}(170, 8^2)$ (moyenne 170 cm, écart-type 8 cm).

• Environ 68 % des gens mesurent entre 162 et 178 cm.
• Environ 95 % entre 154 et 186 cm.
• Environ 99,7 % entre 146 et 194 cm.

Calcul à la calculatrice

Pour $P(a \leq X \leq b)$ avec $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ :

• Casio : Menu STAT → DIST → NORM → Ncd : entre $a$ et $b$, $\mu$, $\sigma$.
• TI-83/84 : 2nd → DISTR → normalcdf(a, b, μ, σ).

Pour $P(X \leq c)$ : utiliser $-10^{99}$ comme borne inférieure (« très petit »).

Loi normale centrée réduite

Cas particulier : $\mu = 0$ et $\sigma = 1$, notée $\mathcal{N}(0, 1)$.

Toute variable $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ se standardise avec :

$Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0, 1)$

Ça permet d’utiliser la table de la loi centrée réduite si on n’a pas de calculatrice.

Erreurs classiques

1. Confondre $\sigma$ et $\sigma^2$ : la notation $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$ met la variance (le carré), pas l’écart-type. Mais dans la formule 68-95-99,7 on utilise $\sigma$.
2. Oublier que la loi est continue : $P(X = k) = 0$ pour tout $k$. On calcule toujours $P(a \leq X \leq b)$.
3. Croire que 95 % = 2σ exact : c’est 1,96 σ précisément. La règle « 2 » est un arrondi.

?À toi de jouer

X suit N(50, 4²). Quelle est la proba que X soit entre 46 et 54 ?

A.≈ 68 %B.≈ 95 %C.≈ 50 %D.≈ 34 %

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