القيمة المطلقة |x|: مجرد « المسافة إلى الصفر »

التعريف

$|x| = \begin{cases} x & \text{إذا } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا } x < 0 \end{cases}$

عمليًا: $|x|$ تُزيل الإشارة. $|5| = 5$، $|-5| = 5$، $|0| = 0$.

التفسير الذي يفتح كل شيء

$|x|$ = المسافة من $x$ إلى $0$ على مستقيم الأعداد.

التعميم: $|x - a|$ = المسافة من $x$ إلى $a$.

حلّ $|x - 3| = 5$

« المسافة بين $x$ و$3$ تساوي 5. » نقطتان على المستقيم: $x = 3 + 5 = 8$ أو $x = 3 - 5 = -2$.

حلّ $|x| \leq 4$

« المسافة من $x$ إلى $0$ لا تتجاوز 4 » ← $x \in [-4; 4]$.

$|x| \geq 4$ ← $x \in ]-\infty; -4] \cup [4; +\infty[$.

الخصائص الثلاث للحفظ

• $|x| \geq 0$ دائمًا.
• $|xy| = |x| \cdot |y|$.
• متراجحة المثلث: $|x + y| \leq |x| + |y|$.

الخطأ الكلاسيكي

$|x^2 - 9| \ne x^2 - 9$ لكل $x$. فقط عندما $x^2 - 9 \geq 0$ (أي $|x| \geq 3$).

?دورك الآن

كم حلًّا لدى |x + 2| = 7؟

A.حل واحد فقطB.حلَّان: x = 5 وx = −9C.حلَّان: x = 5 وx = 9D.لا يوجد

تحقّق