Fonction paire et impaire : les 2 symétries à connaître

Définitions

Soit $f$ définie sur un domaine symétrique par rapport à 0 (ex : $\mathbb{R}$, $[-a, a]$).

• Paire : $f(-x) = f(x)$ pour tout $x$.
• Impaire : $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$.

⚠️ Une fonction n’est pas obligée d’être paire ou impaire.

Interprétation graphique

• Paire : courbe symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (axe $y$).
• Impaire : courbe symétrique par rapport à l’origine (rotation de 180°).

Fonctions de référence

Fonction	Parité
$x^2, x^4, x^6, \ldots$	Paire
$x, x^3, x^5, \ldots$	Impaire
$\cos(x)$	Paire
$\sin(x)$	Impaire
$\tan(x)$	Impaire
$	x
$e^x$	Ni paire ni impaire
$\ln(x)$	Non définie sur ℝ symétrique

Méthode

1. Vérifier que le domaine est symétrique (sinon impossible).
2. Calculer $f(-x)$.
3. Comparer à $f(x)$ ou $-f(x)$.

Exemple : $f(x) = 3x^2 - 5$

$f(-x) = 3(-x)^2 - 5 = 3x^2 - 5 = f(x)$ ⇒ paire.

Exemple : $f(x) = x^3 - x$

$f(-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$ ⇒ impaire.

Somme et produit

• Paire + paire = paire.
• Impaire + impaire = impaire.
• Paire × paire = paire.
• Impaire × impaire = paire.
• Paire × impaire = impaire.

Application aux intégrales

• $f$ impaire ⇒ $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$.
• $f$ paire ⇒ $\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2 \int_0^a f(x)\, dx$.

Erreurs classiques

1. Écrire $f(-x) = -f(x)$ pour dire “paire” (c’est impaire).
2. Oublier de vérifier le domaine symétrique.
3. Croire qu’une fonction est toujours paire OU impaire ($e^x$ n’est ni l’un ni l’autre).

?À toi de jouer

f(x) = x⁴ + 2x². Parité ?

A.PaireB.ImpaireC.Ni paire ni impaireD.Impossible à dire

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