Loi d'Al-Kashi : Pythagore généralisé à tous les triangles

La formule

Dans un triangle $ABC$ (n’importe lequel, pas forcément rectangle) :

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\widehat{A})$

où $a = BC$ (côté opposé à $A$), $b = AC$, $c = AB$.

Idem pour $B$ et $C$ (permutation circulaire) :

• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\widehat{B})$
• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\widehat{C})$

Cas particulier : $\widehat{A} = 90°$

$\cos(90°) = 0$, donc : $a^2 = b^2 + c^2$

C’est Pythagore ! La loi d’Al-Kashi contient Pythagore.

Deux usages

Usage 1 : trouver un côté connaissant deux côtés et l’angle entre eux

Triangle avec $b = 5$, $c = 7$, $\widehat{A} = 60°$. Trouve $a$.

$a^2 = 25 + 49 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(60°) = 74 - 70 \times 0{,}5 = 74 - 35 = 39$

$a = \sqrt{39} \approx 6{,}24$.

Usage 2 : trouver un angle connaissant les 3 côtés

On isole $\cos$ : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Exemple : $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$. Trouve $\widehat{A}$.

$\cos(\widehat{A}) = (25 + 36 - 16)/60 = 45/60 = 0{,}75$

$\widehat{A} = \arccos(0{,}75) \approx 41{,}4°$.

Erreurs classiques

1. Confondre l’angle et le côté : le côté $a$ est celui opposé à l’angle $\widehat{A}$.
2. Oublier le signe dans « moins $2bc \cos A$ ».
3. Utiliser Pythagore sur un triangle non rectangle : erreur classique !

?À toi de jouer

Triangle avec b = 3, c = 4, angle A = 90°. Combien vaut a ?

A.5 (Al-Kashi devient Pythagore)B.7C.√7D.12

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