مبرهنة الحصر (الشرطيَّين): احصر لتستنتج

النصّ

مبرهنة الحصر: إذا كان لكل $n$ ابتداءً من رتبة معيّنة:

$v_n \leq u_n \leq w_n$

وإذا $\lim v_n = \lim w_n = \ell$، فإنّ:

$\lim u_n = \ell$

الفكرة: $u_n$ «محصورة» بين متتاليتَين تتقاربان نحو نفس النهاية. مضطرّة إذًا للذهاب إليها.

النسخة للدوال

إذا $v(x) \leq f(x) \leq w(x)$ قرب $a$ (أو $\pm\infty$)، و $\lim v = \lim w = \ell$، فإنّ $\lim f = \ell$.

تطبيق: متتاليات بجيب/جيب تمام

$u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}$. أيّ نهاية؟

$-1 \leq \cos(n) \leq 1$، إذًا:

$-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\cos(n)}{n} \leq \dfrac{1}{n}$

$-1/n \to 0$ و $1/n \to 0$، إذًا $u_n \to 0$.

نتيجة: نهاية $+\infty$

إذا $u_n \geq v_n$ و $v_n \to +\infty$، فإنّ $u_n \to +\infty$.

كذلك: إذا $u_n \leq v_n$ و $v_n \to -\infty$، فإنّ $u_n \to -\infty$.

مثال: $u_n = n + \sin(n) \geq n - 1$. و $n - 1 \to +\infty$، إذًا $u_n \to +\infty$.

الطريقة

1. احصر $u_n$ بين تعبيرَين أبسط.
2. احسب نهايات الحاصرَين.
3. تحقّق من تساويهما (وإلا فشل).
4. استنتج بالمبرهنة.

مزالق

⚠️ إذا كانت النهايتان غير متساويتَين، لا يمكن الاستنتاج. جد حصرًا أفضل.

⚠️ الحصر يجب أن يصلح لكل $n$ (ابتداءً من رتبة).

أخطاء شائعة

1. حصر واسع جدًا (نهايات $v_n$ و $w_n$ مختلفة).
2. متراجحات معكوسة.
3. نسيان إثبات الحصر (لا مجرّد التأكيد).

?À toi de jouer

u_n = sin(n)/n². النهاية عندما n → ∞؟

A.0B.1C.sin(∞)/∞ (غير محدَّدة)D.غير موجودة

Valider