Ensembles : intersection ∩ et union ∪ en 2 minutes

Intersection : $A \cap B$

$A \cap B = \{x \, | \, x \in A \text{ ET } x \in B\}$

Les éléments qui sont dans $A$ ET dans $B$ en même temps.

Exemple : $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$ ⇒ $A \cap B = \{3, 4\}$.

Union : $A \cup B$

$A \cup B = \{x \, | \, x \in A \text{ OU } x \in B\}$

Les éléments qui sont dans $A$ OU dans $B$ (ou les deux).

Exemple : $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Sur les intervalles

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

$[1, 5] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Cas particuliers

• $A \cap A = A$, $A \cup A = A$.
• $A \cap \emptyset = \emptyset$, $A \cup \emptyset = A$.
• Si $A \subset B$ : $A \cap B = A$, $A \cup B = B$.

Complémentaire

$\overline{A} = \{x \, | \, x \notin A\}$

Dans un ensemble $E$ de référence, $\overline{A} = E \setminus A$.

Lois de De Morgan

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

« La négation transforme ET en OU » et vice-versa.

Diagramme de Venn

Deux cercles qui se chevauchent :

• Intersection = zone commune (au milieu).
• Union = tout le dessin.

Erreurs classiques

1. Confondre $\cap$ (et) et $\cup$ (ou).
2. Écrire $A \cap B = A \cup B$ sans réfléchir.
3. Utiliser $\in$ (élément) et $\subset$ (sous-ensemble) à la place l’un de l’autre.

?À toi de jouer

A = [0, 4] et B = [2, 6]. A ∩ B = ?

A.[2, 4]B.[0, 6]C.[0, 4]D.[2, 6]

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