Coordonnées d'un vecteur : AB = (xB − xA, yB − yA)

La formule à connaître

Dans un repère, si $A(x_A ; y_A)$ et $B(x_B ; y_B)$ :

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Mnémonique : « arrivée moins départ ».

Exemple

$A(2 ; 5)$ et $B(7 ; 3)$.

$\overrightarrow{AB} = (7 - 2 ; 3 - 5) = (5 ; -2)$.

Opérations sur les coordonnées

Si $\vec{u} = (a ; b)$ et $\vec{v} = (c ; d)$ :

• Somme : $\vec{u} + \vec{v} = (a + c ; b + d)$
• Produit par un réel : $k \vec{u} = (k a ; k b)$
• Opposé : $-\vec{u} = (-a ; -b)$

Milieu d’un segment

$M$ milieu de $[AB]$ :

$M = \left( \dfrac{x_A + x_B}{2} \, ; \, \dfrac{y_A + y_B}{2} \right)$

Mnémonique : « moyenne des coordonnées ».

Vecteurs colinéaires (parallèles)

$\vec{u} = (a ; b)$ et $\vec{v} = (c ; d)$ sont colinéaires ssi $a d - b c = 0$.

C’est le déterminant : produit en croix (diagonale principale − diagonale secondaire).

Norme (longueur) d’un vecteur

$\vec{u} = (a ; b)$ :

$\|\vec{u}\| = \sqrt{a^2 + b^2}$

C’est Pythagore appliqué aux coordonnées.

Erreurs classiques

1. Inverser $B$ et $A$ dans « arrivée moins départ ».
2. Confondre coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et de $A$.
3. Écrire milieu = $(x_B - x_A) / 2$ (c’est $x_B + x_A$ pour le milieu, $-$ pour un vecteur).

?À toi de jouer

A(1 ; 2) et B(4 ; 8). Coordonnées de AB ?

A.(3 ; 6)B.(4 ; 8)C.(−3 ; −6)D.(5 ; 10)

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