Vecteurs colinéaires : le test du déterminant qui prend 3 secondes

Le critère

Deux vecteurs $\vec{u}(x_1, y_1)$ et $\vec{v}(x_2, y_2)$ sont colinéaires ssi :

$\det(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1 = 0$

Le moyen mnémotechnique

C’est un produit en croix :

$x_1$	$x_2$
$y_1$	$y_2$

$\det = (x_1 \times y_2) - (x_2 \times y_1)$

Diagonale descendante moins diagonale montante.

Pourquoi c’est mieux que « ils ont la même pente » ?

• Pas de division : donc pas de piège si $x_1 = 0$ ou $x_2 = 0$.
• Marche pour les vecteurs verticaux : $\vec{u}(0, 3)$ et $\vec{v}(0, 5)$ → $\det = 0 \times 5 - 0 \times 3 = 0$. Colinéaires. ✓

Exemple

$\vec{u}(2, 3)$ et $\vec{v}(4, 6)$ sont-ils colinéaires ?

$\det = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0$.

Oui, ils sont colinéaires.

Application classique : 3 points alignés

Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés ssi $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires.

?À toi de jouer

Les vecteurs u(3, −2) et v(6, 4) sont-ils colinéaires ?

A.Non (det = 24)B.OuiC.Impossible à direD.Uniquement si multipliés par un scalaire

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