Variance et écart-type : la dispersion en 2 formules

Les formules

Pour une série $x_1, x_2, \ldots, x_n$ de moyenne $\bar{x}$ :

Variance : $V = \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$

Écart-type : $\sigma = \sqrt{V}$

En français

• La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• L’écart-type est la racine carrée de la variance.

L’écart-type est plus « lisible » car il est dans la même unité que les données.

Méthode pas à pas

Série : 2, 4, 6, 8, 10.

Étape 1 — Moyenne : $\bar{x} = 30/5 = 6$.

Étape 2 — Écarts à la moyenne : $-4, -2, 0, 2, 4$.

Étape 3 — Carrés des écarts : $16, 4, 0, 4, 16$.

Étape 4 — Variance : $(16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8$.

Étape 5 — Écart-type : $\sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83$.

Interprétation

• Écart-type petit → valeurs proches de la moyenne, série peu dispersée.
• Écart-type grand → valeurs éloignées de la moyenne, série dispersée.

Formule alternative (souvent plus rapide)

$V = \dfrac{1}{n} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$

« Moyenne des carrés moins carré de la moyenne. »

Erreurs classiques

1. Confondre variance et écart-type : la variance est en unités² (kg² par ex.), l’écart-type en unités.
2. Oublier la racine à la fin : on donne souvent l’écart-type, pas la variance.
3. Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ : c’est la variance « corrigée » (statistiques inférentielles), pas au programme du lycée en général.

?À toi de jouer

Série : 1, 3, 5, 7, 9. La moyenne est 5. Variance ?

A.8B.4C.10D.25

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