Inéquation du 1er degré : le piège du signe qui bascule

Comme une équation, avec UN piège

Résoudre une inéquation, c’est trouver tous les $x$ qui vérifient l’inégalité.

On peut faire comme pour une équation :

• Ajouter/soustraire la même chose des deux côtés.
• Multiplier/diviser par un même nombre positif.

⚠️ Si on multiplie ou divise par un nombre NÉGATIF, on inverse le sens de l’inégalité.

Exemple 1 (sans piège)

Résoudre $3x + 5 < 20$.

$3x < 15$ (soustraction : sens gardé) $x < 5$ (division par $3 > 0$ : sens gardé)

Solutions : $S = ]-\infty, 5[$.

Exemple 2 (avec piège)

Résoudre $-2x + 3 \geq 11$.

$-2x \geq 8$ (soustraction : sens gardé) $x \leq -4$ (division par $-2 < 0$ : sens inversé)

Solutions : $S = ]-\infty, -4]$.

Représentation sur la droite

Une inéquation a une infinité de solutions. On les représente sur la droite graduée :

• Crochet ouvert (]) : borne exclue (inégalité stricte $<$, $>$).
• Crochet fermé (]) : borne incluse (inégalité large $\leq$, $\geq$).

Deux inéquations d’un coup (encadrement)

Résoudre $-3 < 2x + 1 \leq 7$.

Soustraire $1$ partout : $-4 < 2x \leq 6$. Diviser par $2$ (positif, sens gardé) : $-2 < x \leq 3$.

$S = ]-2, 3]$.

Erreurs classiques

1. Oublier d’inverser en multipliant/divisant par un négatif.
2. Inverser sans raison (par addition, jamais).
3. Mauvais crochet : ouvert vs fermé selon strict/large.
4. Écrire $x > 5$ au lieu de $x < 5$ après avoir tout inversé.

?À toi de jouer

Résoudre −4x + 8 > 0

A.x < 2B.x > 2C.x < −2D.x > −2

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