Inéquation produit ou quotient : le tableau de signes suffit

Le principe

Pour résoudre $A(x) \times B(x) > 0$ (ou $< 0$, $\geq 0$, $\leq 0$) :

1. Factoriser si nécessaire.
2. Tableau de signes avec les valeurs qui annulent chaque facteur.
3. Produit des signes sur la dernière ligne.
4. Lire les intervalles qui conviennent.

Exemple simple

Résoudre $(x - 1)(x + 3) > 0$.

Racines : $x = 1$ et $x = -3$.

$x$	$-\infty$	$-3$	$1$	$+\infty$
$x - 1$	−	−	$0$	+
$x + 3$	−	$0$	+	+
Produit	+	$0$	−	$0$

$S = ]-\infty, -3[ \cup ]1, +\infty[$.

Quotient : attention aux valeurs interdites

Pour $\dfrac{A(x)}{B(x)}$, il faut $B(x) \neq 0$.

Tableau identique, mais on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur (double barre).

Exemple : résoudre $\dfrac{x - 2}{x + 1} \leq 0$.

Racines : $x = 2$ (annule le numérateur), $x = -1$ (interdit).

$x$	$-\infty$	$-1$	$2$	$+\infty$
$x - 2$	−	−	$0$	+
$x + 1$	−	$0$ ‖	+	+
Quotient	+	‖	−	$0$

$S = ]-1, 2]$ (attention : $-1$ exclu, $2$ inclus).

Attention aux facteurs répétés (au carré)

$(x - 3)^2$ est toujours $\geq 0$, nul seulement en $3$. Il n’inverse jamais le signe global.

Erreurs classiques

1. Ne pas exclure les valeurs interdites du quotient.
2. Oublier l’inclusion des racines pour inégalité large.
3. Multiplier une inéquation par $(x + 1)$ sans savoir son signe (change souvent le sens !).

?À toi de jouer

Solutions de (x + 2)(x − 5) < 0 ?

A.]−2, 5[B.]−∞, −2[ ∪ ]5, +∞[C.[−2, 5]D.{−2, 5}

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