Loi binomiale : la formule à connaître pour le bac

La formule

Si $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$, alors :

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

• $n$ = nombre d’épreuves (répétées)
• $p$ = probabilité de succès à chaque épreuve
• $k$ = nombre de succès qu’on veut obtenir
• $\binom{n}{k}$ = coefficient binomial (nombre de façons de choisir $k$ succès parmi $n$)

Les 3 conditions d’application (à toujours vérifier)

1. Répétition : l’épreuve est répétée $n$ fois.
2. Indépendance : chaque répétition est indépendante des autres.
3. 2 issues seulement : succès (proba $p$) ou échec (proba $1-p$).

Si une seule manque → PAS de loi binomiale, il faut autre chose (souvent hypergéométrique si tirage sans remise).

Espérance et variance

$E(X) = np \quad ; \quad V(X) = np(1-p)$

Utile pour vérifier son résultat.

Exemple pas à pas

Un dé équilibré. On lance 5 fois. Probabilité d’obtenir exactement 2 fois un 6 ?

• $n = 5$, $p = 1/6$, $k = 2$.
• Conditions vérifiées : oui (répétitions indépendantes, 2 issues obtenir un 6 / ne pas l’obtenir).
• $P(X = 2) = \binom{5}{2} (1/6)^2 (5/6)^3$
• $\binom{5}{2} = 10$
• $= 10 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{125}{216} = \dfrac{1250}{7776} \approx 0{,}161$

Soit environ 16,1 %.

À la calculatrice

• Casio / TI : menu proba (ou distributions), choisir binomFdp (pour $P(X = k)$) ou binomFrép (pour $P(X \leq k)$).
• Arguments : $n$, $p$, $k$ (dans cet ordre).

Cas fréquents au bac

• $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$ (passage par le complément)
• $P(X \leq k) =$ sommer de 0 à $k$ (ou utiliser binomFrép directement)

Erreur classique

Confondre $p$ (succès) et $q = 1-p$ (échec). Toujours définir clairement dans l’énoncé ce qui est un « succès ».

?À toi de jouer

Une pièce équilibrée est lancée 10 fois. Probabilité d'obtenir exactement 3 piles ?

A.≈ 0,117 (11,7 %)B.0,3C.≈ 0,375D.≈ 0,001

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