Moyenne, médiane, quartiles : qui trouve quoi et comment

Les trois indicateurs

Moyenne $\bar{x}$

$\bar{x} = \dfrac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

Sensible aux valeurs extrêmes (une valeur très grande la tire vers le haut).

Médiane

La valeur qui coupe la série ordonnée en deux moitiés égales.

• Si $n$ (nombre de valeurs) est impair : c’est la valeur du milieu.
• Si $n$ est pair : c’est la moyenne des deux valeurs centrales.

Robuste : peu sensible aux extrêmes.

Quartiles $Q_1$ et $Q_3$

• $Q_1$ = valeur qui coupe le quart inférieur (25 % en dessous)
• $Q_3$ = valeur qui coupe le quart supérieur (75 % en dessous)
• Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$ (mesure la dispersion sans les extrêmes)

Méthode pas à pas

Étape 1 : ordonner la série du plus petit au plus grand.

Étape 2 : compter $n$.

Étape 3 : appliquer les positions.

• Médiane :
  • $n$ impair → rang $(n+1)/2$
  • $n$ pair → moyenne des rangs $n/2$ et $n/2 + 1$
• $Q_1$ : rang $\lceil n/4 \rceil$
• $Q_3$ : rang $\lceil 3n/4 \rceil$

Exemple

Série : 3, 7, 8, 12, 5, 6, 9, 15, 10.

Ordonner : 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 15 (n = 9).

• Moyenne : (3+5+6+7+8+9+10+12+15)/9 = 75/9 ≈ 8,33
• Médiane : valeur au rang (9+1)/2 = 5 → 8
• $Q_1$ : rang $\lceil 9/4 \rceil = 3$ → 6
• $Q_3$ : rang $\lceil 27/4 \rceil = 7$ → 10
• Écart interquartile : 10 - 6 = 4

Moyenne vs médiane : laquelle choisir ?

• Moyenne : si la série est symétrique, sans valeurs aberrantes.
• Médiane : si la série est asymétrique ou contient des valeurs extrêmes (salaires, prix immobiliers).

Exemple classique : dans une entreprise de 10 salariés dont 9 gagnent 2000 € et le patron 100 000 €, la moyenne est 11 800 € (trompeur), la médiane est 2000 € (représentatif).

Erreurs classiques

1. Oublier d’ordonner la série avant de chercher la médiane.
2. Confondre valeur et rang : si le rang 3 vaut 6, la médiane N’EST PAS 3.
3. Utiliser la moyenne quand il y a des valeurs aberrantes.

?À toi de jouer

Série : 2, 4, 7, 9, 12. La médiane est :

A.7B.6,8 (la moyenne)C.6D.3

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