Position relative de deux droites : sécantes, parallèles, confondues

Le tableau de décision

Soient $(d_1) : y = m_1 x + p_1$ et $(d_2) : y = m_2 x + p_2$.

Coefficients	Position
$m_1 \neq m_2$	Sécantes (1 point commun)
$m_1 = m_2$ et $p_1 \neq p_2$	Strictement parallèles (0 point commun)
$m_1 = m_2$ et $p_1 = p_2$	Confondues (infinité de points)

Méthode en 3 étapes

1. Mettre les 2 équations sous la forme $y = mx + p$.
2. Comparer les coefficients directeurs $m_1$ et $m_2$.
3. Si égaux, comparer les ordonnées à l’origine.

Exemple

$(d_1) : y = 2x + 3$ et $(d_2) : 4x - 2y + 6 = 0$.

Isoler $y$ dans $(d_2)$ : $y = 2x + 3$.

$m_1 = m_2 = 2$ et $p_1 = p_2 = 3$ ⇒ confondues.

Point d’intersection (sécantes)

Résoudre le système : $\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}$

Par égalité : $m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2$ ⇒ $x = \dfrac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}$.

Cas de la droite verticale

$x = a$ n’a pas de coefficient directeur (pente infinie).

• $x = a$ et $x = b$ : parallèles si $a \neq b$, confondues si $a = b$.
• $x = a$ et $y = mx + p$ : toujours sécantes en $(a, ma + p)$.

Erreurs classiques

1. Comparer $p$ avant $m$ (l’ordre est important).
2. Oublier de mettre sous la forme $y = mx + p$.
3. Confondre parallèle et confondu : parallèle = 0 point, confondu = tous les points.

?À toi de jouer

(d1) : y = 3x − 1 et (d2) : y = 3x + 2. Position ?

A.Strictement parallèlesB.SécantesC.ConfonduesD.Perpendiculaires

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