Puissances : produit, quotient, puissance d'une puissance

Les 3 règles fondamentales

Opération	Règle
Produit (même base)	$a^n \times a^m = a^{n+m}$
Quotient (même base)	$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Puissance d’une puissance	$(a^n)^m = a^{n \times m}$

⚠️ Ces règles n’existent que si les bases sont identiques.

Cas particuliers importants

• $a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$)
• $a^1 = a$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
• $a^{1/2} = \sqrt{a}$ (lycée)

Règles pour bases différentes

$(a \times b)^n = a^n \times b^n$

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

⚠️ Il n’existe pas de règle simple pour $a^n + a^m$ ni $(a + b)^n$.

Exemples types

$2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256$.

$\dfrac{10^7}{10^4} = 10^{7-4} = 10^3 = 1000$.

$(3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 = 6561$.

$5^{-2} = \dfrac{1}{5^2} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$.

Astuce quotient : soustraction d’exposants négatifs

$\dfrac{a^{-3}}{a^{-5}} = a^{-3 - (-5)} = a^{-3 + 5} = a^2$.

Erreurs classiques

1. $a^n + a^m = a^{n+m}$ (FAUX, c’est pour le produit).
2. $a^n \times b^n = (ab)^{2n}$ (faux, c’est $(ab)^n$).
3. $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ (faux : $a^2 + 2ab + b^2$).
4. Oublier que $a^0 = 1$.

?À toi de jouer

Simplifier (2³)² × 2⁴ ?

A.2¹⁰ = 1024B.2⁹ = 512C.2¹² = 4096D.2⁶ = 64

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