Simplifier √a en b√c : sortir le plus grand carré

La règle magique

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$

Si $a$ est un carré parfait, on le sort : $\sqrt{a^2 \times b} = a \sqrt{b}$.

Méthode

1. Décomposer $n$ sous la racine.
2. Repérer le plus grand carré parfait parmi les diviseurs.
3. Sortir sa racine.

Carrés parfaits à connaître

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, \ldots$

Exemples types

$\sqrt{72}$ : $72 = 36 \times 2$. $\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

$\sqrt{50}$ : $50 = 25 \times 2$. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

$\sqrt{288}$ : $288 = 144 \times 2$. $\sqrt{288} = 12\sqrt{2}$.

$\sqrt{300}$ : $300 = 100 \times 3$. $\sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

Astuce : décomposition en facteurs premiers

Pour $\sqrt{n}$, décompose $n$ en facteurs premiers. Chaque paire d’un même facteur sort de la racine (comme carré).

Ex : $\sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

Opérations avec racines simplifiées

Addition/soustraction possible seulement si même partie sous la racine : $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.

Mais $3\sqrt{2} + 5\sqrt{3}$ ne se simplifie pas davantage.

Erreurs classiques

1. Sortir un facteur non carré : $\sqrt{12}$ n’est pas $2\sqrt{3}$ à cause de $2$ (c’est bon), mais $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, pas $\sqrt{9} \times 2$.
2. $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ (FAUX).
3. Sortir un carré incomplet : $\sqrt{20}$ = $2\sqrt{5}$ (car $20 = 4 \times 5$), pas $\sqrt{4} \times \sqrt{5}$ non simplifié.

?À toi de jouer

Simplifier √98 ?

A.7√2B.√98C.2√49D.7√14

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