Contraposée de Thalès : prouver que deux droites NE sont PAS parallèles

Rappel : Thalès direct

Dans une configuration où $(BC)$ et $(B'C')$ sont parallèles, avec $A, B, B'$ alignés et $A, C, C'$ alignés :

$\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{AC}{AC'} = \dfrac{BC}{B'C'}$

La contraposée

Si les rapports ne sont PAS égaux, alors les droites ne sont PAS parallèles.

$\text{Si } \dfrac{AB}{AB'} \neq \dfrac{AC}{AC'}, \text{ alors } (BC) \not\parallel (B'C')$

Réciproque (attention à ne pas confondre)

Réciproque de Thalès : si les rapports SONT égaux ET les points sont dans le bon ordre, ALORS les droites sont parallèles.

Contraposée = « si NON conclusion, alors NON hypothèse ».

Méthode pour prouver que ce N’EST PAS parallèle

1. Calcule les deux rapports $\dfrac{AB}{AB'}$ et $\dfrac{AC}{AC'}$.
2. Si les rapports sont différents, conclus que les droites ne sont pas parallèles.
3. Si les rapports sont égaux, tu ne peux PAS conclure avec la contraposée. Utilise la réciproque.

Exemple

$A(0,0)$, $B(2,0)$, $B'(6,0)$, $C(0,3)$, $C'(0,9)$.

• $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$
• $\dfrac{AC}{AC'} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$

Les rapports sont égaux → la contraposée ne dit rien. Ici on peut appliquer la réciproque et conclure $(BC) \parallel (B'C')$.

Autre exemple

$AB = 3$, $AB' = 5$, $AC = 6$, $AC' = 8$.

• $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
• $\dfrac{AC}{AC'} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$

$0{,}6 \neq 0{,}75$ → par la contraposée, $(BC)$ et $(B'C')$ ne sont PAS parallèles.

Erreurs classiques

1. Confondre contraposée et réciproque.
2. Utiliser des longueurs mal alignées : il faut $A, B, B'$ alignés, et $A, C, C'$ alignés.
3. Comparer sans réduire au même dénominateur : $\dfrac{3}{5}$ vs $\dfrac{6}{10}$ → identiques !

?À toi de jouer

A, B, B' alignés et A, C, C' alignés. AB/AB' = 2/5 et AC/AC' = 4/9. Peut-on conclure ?

A.Oui, (BC) et (B'C') NE sont PAS parallèlesB.Oui, (BC) et (B'C') SONT parallèlesC.Non, on ne peut rien direD.Il manque une info

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