Translation par un vecteur : la transformation qui « glisse » tout

Définition

La translation de vecteur $\vec{u}$ associe à chaque point $M$ le point $M'$ tel que :

$\vec{MM'} = \vec{u}$

Autrement dit : tous les points se déplacent du même vecteur.

Image d’un point M

Pour construire $M'$ :

1. Trace le représentant de $\vec{u}$ à partir de $M$.
2. La pointe de la flèche donne $M'$.

En coordonnées : si $\vec{u}(a, b)$ et $M(x, y)$, alors $M'(x + a, y + b)$.

Aucun point fixe

Contrairement à la rotation ou à la symétrie, la translation n’a aucun point invariant, sauf si $\vec{u} = \vec{0}$ (dans ce cas c’est l’identité).

Propriétés

Une translation conserve :

• Les longueurs
• Les angles
• Les aires
• L’orientation
• Le parallélisme (une droite reste parallèle à son image)

Une translation transforme :

• Une droite en une droite parallèle
• Un segment en un segment de même longueur
• Un cercle en un cercle de même rayon

Composée de translations

$t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}} = t_{\vec{u} + \vec{v}}$

Autrement dit : deux translations successives = une seule translation, du vecteur somme.

Erreurs classiques

1. Confondre translation et rotation : la translation n’a pas de centre.
2. Croire qu’il existe un point fixe : non, sauf pour la translation nulle.
3. Oublier le sens du vecteur : $\vec{u}$ et $-\vec{u}$ donnent des translations opposées.

?À toi de jouer

Point A(2, 3) est translaté par u(4, −1). Coordonnées de A' ?

A.(6, 2)B.(6, 4)C.(2, 4)D.(−2, 4)

Valider