Équations exp et log : e^x = k et ln(x) = k en 30 secondes

Équation exponentielle : $e^x = k$

• Si $k > 0$ : une unique solution $x = \ln(k)$.
• Si $k \leq 0$ : pas de solution (car $e^x > 0$ toujours).

Exemple : $e^x = 5$ ⇒ $x = \ln(5) \approx 1{,}609$.

Équation logarithmique : $\ln(x) = k$

Condition d’existence : $x > 0$.

Toujours une unique solution : $x = e^k$.

Exemple : $\ln(x) = 2$ ⇒ $x = e^2 \approx 7{,}389$.

Cas plus complexes

$e^{ax + b} = k$ avec $k > 0$ : $a x + b = \ln(k) \Rightarrow x = \dfrac{\ln(k) - b}{a}$

$\ln(a x + b) = k$ avec $a x + b > 0$ : $a x + b = e^k \Rightarrow x = \dfrac{e^k - b}{a}$

⚠️ Il faut ensuite vérifier la condition $a x + b > 0$.

Inéquations

$e^x > k$ (exp est strictement croissante) :

• Si $k \leq 0$ : $S = \mathbb{R}$.
• Si $k > 0$ : $x > \ln(k)$.

$\ln(x) > k$ (ln est strictement croissante) :

• Toujours $x > e^k$ (et $x > 0$ automatique).

Résoudre $e^{f(x)} = e^{g(x)}$

Comme $\exp$ est injective : $f(x) = g(x)$.

De même pour $\ln$ : $\ln(f(x)) = \ln(g(x)) \iff f(x) = g(x)$ avec $f(x), g(x) > 0$.

Erreurs classiques

1. Résoudre $e^x = -3$ sans dire « pas de solution ».
2. Oublier la condition $x > 0$ pour $\ln$.
3. Écrire $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a + b)$ (faux, c’est $\ln(ab)$).
4. Écrire $e^{a+b} = e^a + e^b$ (faux, c’est $e^a \cdot e^b$).

?À toi de jouer

Solution de e^(2x − 1) = 5 ?

A.(ln(5) + 1) / 2B.ln(5) − 1C.(5 + 1) / 2D.e^5 / 2

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