Cube d'un binôme : (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Les deux formules

$(a + b)^3 = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3$

$(a - b)^3 = a^3 - 3 a^2 b + 3 a b^2 - b^3$

Coefficients 1, 3, 3, 1 (ligne 4 du triangle de Pascal).

Comment se souvenir

• Puissances de $a$ : 3, 2, 1, 0 (décroissantes).
• Puissances de $b$ : 0, 1, 2, 3 (croissantes).
• Coefficients : 1, 3, 3, 1.
• Pour $(a-b)^3$ : les signes alternent + − + −.

Exemple : $(x + 2)^3$

$= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 4 + 8$ $= x^3 + 6 x^2 + 12 x + 8$

Exemple : $(x - 1)^3$

$= x^3 - 3 x^2 + 3 x - 1$

Factorisation inverse

Différence de cubes : $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + a b + b^2)$

Somme de cubes : $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2)$

Utile pour dérivées et calculs

Pour trouver $(x + 1)^3$ dans un exercice, développer directement plutôt que multiplier trois fois.

Erreurs classiques

1. Oublier les termes centraux ($3 a^2 b$ et $3 a b^2$).
2. Coefficient 2 au lieu de 3 (confusion avec le carré).
3. Écrire $(a+b)^3 = a^3 + b^3$ (FAUX).
4. Signes de $(a-b)^3$ : + − + −, pas tous −.

?À toi de jouer

Développer (2x − 1)³ ?

A.8x³ − 12x² + 6x − 1B.8x³ − 1C.8x³ − 6x + 1D.6x³ − 12x² + 6x − 1

Valider